Cycle 4, rentrée 2018

Version réduite :  pour la version complète, consultez ce lien.

 

Thème A – Nombres et calculs

 

Au cycle 4, les élèves consolident le sens des nombres et confortent la maîtrise des procédures de calcul, sans objectif de virtuosité technique. Ils manipulent des nombres rationnels de signe quelconque. Ils utilisent les différentes écritures d’un même nombre (fractionnaire, décimale, notation scientifique). Les puissances sont introduites pour faciliter l’évaluation d’ordres de grandeurs (notamment en relation avec d’autres disciplines) et la simplification de certaines écritures.

 

Les élèves abordent les bases du calcul littéral, qu’ils mettent en œuvre pour modéliser une situation, démontrer une propriété générale et résoudre des problèmes se ramenant à des équations du premier degré. Les élèves sont progressivement familiarisés aux différents statuts de la lettre (indéterminée, variable, inconnue, paramètre) et du signe égal (pour fournir le résultat d’une opération, pour traduire l’égalité de deux représentations d’un  même  nombre,  dans  une  équation,  dans  une  identité).  À  l’occasion  d’activités  de recherche, ils peuvent rencontrer des nombres irrationnels, par exemple dans l’utilisation du théorème de Pythagore ou la résolution d’équations de la forme  x² = a.

 

Attendus de fin de cycle 

_utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes ;

_ comprendre et utiliser les notions de divisibilité et de nombres premiers ;

_utiliser le calcul littéral.






 

Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes

 

Nombres

 

Connaissances

 

Ø nombres décimaux (positifs et négatifs), notion d’opposé ;

Ø fractions, nombres rationnels (positifs et négatifs), notion d’inverse ;

Ø les carrés parfaits de 1 à 144 ;

Ø définition de la racine carrée ;

Ø les préfixes de nano à giga.

 

Compétences associées


Ø utiliser diverses représentations d’un même nombre (écriture décimale ou fractionnaire, notation scientifique, repérage sur une droite graduée) ;

Ø passer d’une représentation d’un nombre à une autre.

 

 

Comparaisons de nombres

 

Connaissances


Ø égalité de fractions (démonstration possible à partir de la définition du quotient) ;

Ø ordre sur les nombres rationnels en écriture décimale ou fractionnaire.

 

Compétences associées

 

Ø comparer, ranger, encadrer des nombres rationnels en écriture décimale, fractionnaire ou scientifique

Ø repérer et placer un nombre rationnel sur une droite graduée ;

Ø associer à des objets des ordres de grandeur (par exemple taille d’un atome, d’une bactérie, d’une alvéole pulmonaire, longueur de l’intestin, capacité de stockage d’un disque dur, vitesses du son et de la lumière, populations française et mondiale, distance Terre-Lune, distance du Soleil à l’étoile la plus proche, etc.).

 

 

Pratiquer le calcul exact ou approché, mental, à la main ou instrumenté

 

Connaissances

 

Ø somme, différence, produit, quotient de nombres décimaux, de deux nombres rationnels ;

Ø puissance d’un nombre (exposants entiers, positifs ou négatifs) ;

Ø notation scientifique.


Compétences associées

 

Ø calculer avec des nombres relatifs, des fractions, des nombres décimaux ;

Ø vérifier la vraisemblance d’un résultat, notamment en estimant son ordre de grandeur ;

Ø effectuer des calculs numériques simples impliquant des puissances, notamment en utilisant la notation scientifique ;

Ø utiliser la racine carrée pour résoudre des problèmes, notamment géométriques ;

Ø effectuer des calculs et des comparaisons pour traiter des problèmes.

 

La mise en acte de produits et de quotients de puissances de même base résulte de l’application de la définition plutôt que de celle d’une formule.

 

 

Comprendre et utiliser les notions de divisibilité et de nombres premiers

 

Connaissances

 

Ø multiples et diviseurs ;

Ø critères de divisibilité par 2, 3, 5, 9 ;

Ø division euclidienne (quotient, reste) ;

Ø définition d’un nombre premier ; liste des nombres premiers inférieurs ou égaux à 30 ;

Ø fractions irréductibles.

 

Compétences associées

 

Ø déterminer si un entier est ou n’est pas multiple ou diviseur d’un autre entier ;

Ø déterminer les nombres premiers inférieurs ou égaux à 100 ;

Ø utiliser les critères de divisibilité par 2, 3, 5, 9, 10 ;

Ø déterminer les diviseurs d’un nombre à la main, à l’aide d’un tableur, d’une calculatrice ;

Ø décomposer un nombre entier en produit de facteurs premiers (à la main ou à l’aide d’un logiciel) ;

Ø simplifier une fraction pour la rendre irréductible ;

Ø modéliser et résoudre des problèmes mettant en jeu la divisibilité (engrenages, conjonction de phénomènes, etc.).

 

 

Utiliser le calcul littéral

 

Connaissances


Ø notions d’inconnue, d’équation, d’indéterminée, d’identité ;

Ø propriétés de distributivité (simple et double) ;

Ø annulation d’un produit (démonstration possible par disjonction de cas) ;

Ø factorisation de a²-b² .

 

Compétences associées

Ø développer, factoriser, réduire des expressions algébriques dans des cas très simples ;

Ø utiliser le calcul littéral pour traduire une propriété générale (par exemple la distributivité simple), pour démontrer un résultat général (par exemple que la somme de trois entiers consécutifs est un multiple de trois), pour valider ou réfuter une conjecture, pour modéliser une situation ;

Ø mettre un problème en équation en vue de sa résolution ;

Ø résoudre algébriquement des équations du premier degré ou s’y ramenant (équations produits), en particulier des équations du type  x²= a.

 

Il est attendu de démontrer au moins une propriété du calcul fractionnaire en utilisant le calcul littéral et la définition du quotient.

 

 

 

À l’issue d’activités rituelles de calcul et de verbalisation de procédures et la résolution de problèmes, menées tout au long du cycle, d’abord dans le cadre numérique, puis dans le cadre algébrique, les élèves doivent avoir mémorisé ou automatisé :

·      les règles de calcul sur les nombres relatifs et les fractions, notamment la condition d’égalité de deux fractions (si ad=bc, alors a/b=c/d et réciproquement)

·      les conventions d’écritures du calcul littéral ;

·      les formules de distributivité simple et double ;

·      l’identité a²-b²=(a+b)(a-b) ;

·      les procédures de résolution d’équations du type  ax= b et  a+x = b.

 

 

Thème B – Organisation et gestion de données, fonctions

 

Certaines des notions travaillées dans ce thème ont déjà été abordées aux cycles précédents. Au cycle 4, les élèves sont  confrontés à  diverses situations de  travail  sur  des  données :  les  utiliser, les  représenter, les interpréter de manière critique. Ils abordent les notions d’incertitude et de hasard, afin de ne pas « subir » le hasard, mais de construire une citoyenneté critique et rationnelle. Ils apprennent à  choisir une méthode adaptée aux problèmes de proportionnalité auxquels ils sont confrontés.

La notion de ratio vient enrichir le lexique de la proportionnalité pour traduire la proportionnalité de deux suites de nombres. Les élèves découvrent progressivement la notion de fonction, qui permet à la fois de revisiter sous l’aspect fonctionnel des situations déjà  connues et  d’accéder à  de nouvelles catégories de problèmes.

 

 



Attendus de fin de cycle
- interpréter, représenter et traiter des données ;
- comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilités ;
- résoudre des problèmes de proportionnalité ;
- comprendre et utiliser la notion de fonction.

 

Interpréter, représenter et traiter des données

 

Connaissances

Ø effectifs, fréquences ;

Ø indicateurs de position : moyenne, médiane ;

Ø indicateur de dispersion : étendue.

 

Compétences associées

 Ø recueillir des données, les organiser ;

Ø lire et interpréter des données sous forme de données brutes, de tableau, de diagramme (diagramme en bâtons, diagramme circulaire, histogramme) ;

Ø utiliser un tableur-grapheur pour présenter des données sous la forme d’un tableau ou d’un diagramme ;

Ø calculer des effectifs, des fréquences ;

Ø calculer et interpréter des indicateurs de position ou de dispersion d'une série statistique.

 

Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilités

 

Connaissances

 Ø vocabulaire des probabilités ;

Ø notion de probabilité ; la probabilité d’un événement est comprise entre 0 et 1 ;

Ø probabilité d’événements certains, impossibles, contraires.

 

Compétences associées

 Ø aborder les questions relatives au hasard à partir de problèmes simples ;

Ø calculer des probabilités dans des cas simples (par exemple évaluation des chances de gain dans un jeu) ;

Ø exprimer des probabilités sous diverses formes (décimale, fractionnaire, pourcentage) ;

Ø faire le lien entre fréquence et probabilité.

 

Résoudre des problèmes de proportionnalité

 

Connaissances

 Ø coefficient de proportionnalité ;

Ø taux d’évolution, coefficient multiplicateur ;

Ø notion de ratio.

 On dit, par exemple,

- que deux nombres a et b sont dans le ratio 2 : 3 (notation standardisée) si a/2=b/3

   - que trois nombres a, b et c sont dans le ratio 2 : 3 : 7 (notation standardisée) si  a/2 = b/3 = c/7

Compétences associées

 

Ø reconnaître une situation de proportionnalité ou de non-proportionnalité ;

Ø calculer une quatrième proportionnelle ;

Ø partager une quantité (par exemple une somme d’argent) en deux ou trois parts selon un ratio donné ;

Ø utiliser une formule liant deux grandeurs dans une situation de proportionnalité (par exemple la longueur d’un cercle en fonction de son rayon, la loi d’Ohm exprimant la tension en fonction de  l’intensité, la distance parcourue en fonction du temps à vitesse constante, etc.) ;

Ø résoudre des problèmes utilisant la proportionnalité (pourcentages, échelles, agrandissement, réduction).

Comprendre et utiliser la notion de fonction

 

Connaissances

 

Ø vocabulaire : variable, fonction, antécédent, image ;

Ø différents modes de représentation d’une fonction (expression symbolique, tableau de valeurs, représentation graphique, programme de calcul) ;

Ø notations  f(x) et x |-> f(x) ;

Ø fonction linéaire, fonction affine.

 

Compétences associées

 

Ø passer d’un mode de représentation d’une fonction à un autre ;

Ø déterminer, à partir d’un mode de représentation, l’image ou un antécédent d’un nombre par une fonction ;

Ø représenter graphiquement une fonction linéaire, une fonction affine ;

Ø modéliser un phénomène continu par une fonction ;

Ø modéliser une situation de proportionnalité à l’aide d’une fonction linéaire ;

Ø résoudre des problèmes modélisés par des fonctions.

 

À l’issue d’activités rituelles de calcul et de verbalisation des procédures et la résolution de problèmes, menées tout au long du cycle, les élèves doivent avoir mémorisé ou automatisé :

·      différentes procédures de calcul d’une quatrième proportionnelle ;

·      l’allure de la représentation graphique d’une fonction affine ou linéaire ;

·      les procédures d’application et de calcul d’un pourcentage ou d’une échelle ;

·      les procédures de recherche d’image et d’antécédent d’un nombre par une fonction.

 

 

Thème C – Grandeurs et mesures

 

En continuité avec le travail engagé au cycle 3, ce thème se prête particulièrement à des connexions avec les autres thèmes du programme et offre de nombreux liens avec la physique-chimie, les sciences de la vie et de la Terre, la géographie, l’éducation physique et sportive.

Les élèves doivent disposer de références concrètes (savoir, par exemple, que la circonférence de la Terre est environ 40 000 km) et être capables d’estimer l'ordre de grandeur d'une mesure.

À travers les activités sur les longueurs, les aires et les volumes, les élèves se construisent et utilisent un premier répertoire de formules. Par ailleurs, ce travail autour des formules s'inscrit dans l'introduction du calcul littéral.




Attendus de fin de cycle
- calculer avec des grandeurs mesurables ; exprimer les résultats dans les unités adaptées ;
- comprendre l’effet de quelques transformations sur les figures géométriques.

 

Calculer avec des grandeurs mesurables ; exprimer les résultats dans les unités adaptées

Connaissances

 Ø notion de grandeur produit et de grandeur quotient ;

Ø aire du parallélogramme (obtenue à partir de celle du rectangle par découpage et recollement) ;

Ø volume d’un prisme, d’une pyramide, d’un cylindre, d’un cône, d’une boule ;

Ø correspondance entre unités de volume et de contenance (1 L = 1 dm3, 1 000 L = 1 m3). 

Compétences associées

Ø mener des calculs impliquant des grandeurs mesurables, notamment des grandeurs composées, exprimer les résultats dans les unités adaptées ;

Ø vérifier la cohérence des résultats du point de vue des unités ;

Ø effectuer des conversions d’unités.

 

Comprendre l’effet de quelques transformations sur les figures géométriques

Connaissances

 Ø effet d’un déplacement, d'un agrandissement ou d'une réduction sur les longueurs, les angles, les aires et les volumes.

Compétences associées

Ø utiliser un rapport de réduction ou d'agrandissement (architecture, maquettes) pour calculer des longueurs, des aires, des volumes ;

Ø utiliser l’échelle d’une carte ;

Ø utiliser des transformations pour calculer des grandeurs géométriques ;

Ø faire le lien entre la proportionnalité et certaines configurations ou transformations géométriques  (agrandissement réduction, triangles semblables, homothéties).

À l’issue d’activités rituelles de calcul et de verbalisation de procédures et la résolution de problèmes, effectuées tout au long du cycle, les élèves doivent avoir mémorisé et automatisé les formules donnant les longueurs, aires, volumes des figures et solides figurant au programme, ainsi que les procédures de conversion d’unités.

 

 

Thème D - Espace et géométrie

 

Au cycle 3, les élèves ont découvert différents objets géométriques, qui continuent à être rencontrés au cycle 4.  Ils  valident désormais par  le  raisonnement et  la  démonstration les  propriétés qu'ils conjecturent. Les définitions et propriétés déjà vues au cycle 3 ainsi que les nouvelles propriétés introduites au cycle 4 (caractérisation angulaire du parallélisme, somme des angles d’un triangle, inégalité triangulaire, théorèmes de Thalès et de Pythagore) fournissent un éventail d'outils nourrissant la mise en œuvre de raisonnements et démonstrations. De nouvelles transformations (symétries centrales, translations, rotations, homothéties) font l'objet d'une première approche, basée sur l’observation de leur effet sur des configurations planes, essentiellement  à  partir  de  manipulations  concrètes  (papier  calque,  papier  pointé,  quadrillage,  etc.)  ou virtuelles (logiciel de géométrie dynamique). L’objectif est d’installer des images mentales qui faciliteront ultérieurement l’analyse de figures géométriques ainsi que la définition ponctuelle des transformations étudiées.




Attendus de fin de cycle
- représenter l’espace ;
- utiliser les notions de géométrie plane pour démontrer.

 

Représenter l’espace

Connaissances

Ø abscisse, ordonnée, altitude ;

Ø latitude, longitude ;

Compétences associées

Ø (se) repérer sur une droite graduée, dans le plan muni d'un repère orthogonal, dans un parallélépipède rectangle, sur une sphère ;

Ø reconnaître des solides (pavé droit, cube, prisme, cylindre, pyramide, cône, boule) ;

Ø construire et mettre en relation des représentations de ces solides (vues en perspective cavalière, de face, de dessus, sections planes, patrons, etc.) ;

Ø utiliser un logiciel de géométrie dynamique pour représenter des solides.

 

Utiliser les notions de géométrie plane pour démontrer

Connaissances

Ø caractérisation angulaire du parallélisme : angles alternes internes, angles correspondants ;

Ø triangle :

- somme des angles d’un triangle (démonstration possible en utilisant les angles correspondants) ;

- hauteurs et médiatrices ;

- inégalité triangulaire ;

- cas d’égalité des triangles ;

- triangles semblables (une définition et une propriété caractéristique).


Ø parallélogramme (une définition et une propriété caractéristique) ;

Ø le théorème de Thalès et sa réciproque (configurations des triangles emboîtés et du papillon) ;

Ø le théorème de Pythagore et sa réciproque ;

Ø lignes trigonométriques dans le triangle rectangle : cosinus, sinus, tangente.

 

Compétences associées

Ø mettre en œuvre ou écrire un protocole de construction d’une figure géométrique ;

Ø faire le lien entre les cas d’égalité des triangles et la construction d’un triangle à partir de la donnée de longueurs des côtés et/ou de mesures d’angles ;

Ø comprendre l’effet d’une translation, d’une symétrie (axiale et centrale), d’une rotation, d’une homothétie sur une figure ;

Ø mobiliser les connaissances des figures, des configurations et des transformations au programme pour déterminer des grandeurs géométriques ;

Ø mener des raisonnements et s’initier à la démonstration en utilisant les propriétés des figures, des configurations et des transformations.

 Les définitions ponctuelles d’une rotation, d’une translation, d’une homothétie ne figurent pas au programme.

À l’issue d’activités rituelles de construction et de verbalisation des procédures et la résolution de problèmes, effectuées tout au long du cycle, les élèves doivent avoir mémorisé des images mentales (configurations de Pythagore et de Thalès, lignes trigonométriques dans un triangle rectangle) et automatisé les procédures de repérage et de constructions géométriques liées aux figures et aux transformations du programme

 

  

Thème E – Algorithmique et programmation

 

Au cycle 4, les élèves s’initient à la programmation, en développant dans une démarche de projet quelques programmes simples, sans viser une connaissance experte et exhaustive d’un langage ou d’un logiciel particulier. En créant un programme, ils développent des méthodes de programmation, revisitent les notions de variables et de fonctions sous une forme différente, et s’entraînent au raisonnement.

Exemples d’activités possibles : jeux dans un labyrinthe, jeu de Pong, bataille navale, jeu de nim, tic tac toe, jeu du cadavre exquis.

 



Attendus de fin de cycle
- écrire, mettre au point et exécuter un programme simple.

 

 

Ecrire, mettre au point, exécuter un programme

 

Connaissances :

Ø  notion d’algorithme et de programme ;

Ø  notion de variable informatique ;

Ø  déclenchement d’une action par un événement ;

Ø  séquence d’instructions, boucles, instructions conditionnelles.

 Compétences associées :

 Ø  écrire, mettre au point (tester, corriger) et exécuter un programme en réponse à un problème donné.

 

Croisements entre enseignements

Si les mathématiques sont une science à part entière avec son propre langage et une démarche spécifique de preuve  basée,  non  pas  sur  la  confrontation  au  réel,  mais  sur  la  démonstration, elles  sont  également intimement liées aux autres disciplines. Elles fournissent en effet des outils de calcul et de représentation et des modèles qui permettent de traiter des situations issues de toutes les autres disciplines enseignées au cycle 4. De ce fait, les mathématiques ont également toute leur place dans les enseignements pratiques interdisciplinaires qui contribuent à faire percevoir aux élèves leur dimension créative, inductive et esthétique et à éprouver le plaisir de les pratiquer.